Пояснительная записка
Рабочая программа курса внеурочной деятельности «Решение нестандартных задач по
геометрии» составлена в соответствии с:
федеральным компонентом государственного стандарта среднего (полного) общего
образования по математике,
учебным планом ЧОУ «Гимназия имени Святейшего Патриарха Алексия Второго»
на текущий учебный год (далее-гимназия)
Программа соответствует учебникам:
Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия 10-11. М.: Просвещение,
2014.
В соответствии с учебным планом ЧОУ «Гимназия имени Святейшего Патриарха Алексия
Второго» на курс внеурочной деятельности «Решение нестандартных задач по геометрии»
в 10 и 11 классе отводится по 2 часа в неделю.
Курс внеурочной деятельности «Решение нестандартных задач по геометрии» включает в
себя задачи по планиметрии и стереометрии. Тематическое планирование составлено на
136 уроков.
Содержание образования настоящего курса развивается в следующих направлениях:
• расширение системы сведений о свойствах плоских фигур, систематическое изучение
свойств пространственных тел, развитие представлений о геометрических измерениях;
• совершенствование математического развития до уровня, позволяющего свободно
применять изученные факты и методы при решении задач из различных разделов курса, а
также использовать их в нестандартных ситуациях;
• формирование способности строить и исследовать простейшие математические модели
при решении прикладных задач, задач из смежных дисциплин, углубление знаний об
особенностях применения математических методов к исследованию процессов и явлений
в природе и обществе.
Содержание программы направлено на освоение учащимися знаний, умений и навыков на
углублённом уровне, что соответствует Образовательной программе гимназии.
Включение в программу углубленного изучения математики разделов, дополняющих
программу для массовой школы, ставит цель способствовать достижению обучающимися
высокого уровня математической подготовки и призвано служить основой
профессиональной ориентации выпускников. Результатом изучения дополнительных
разделов должно стать не просто знание обучающимися соответствующих терминов и
формулировок, а умение применять изученные теоремы и методы, самостоятельно решать
задачи. Именно в ходе решения задач развиваются интересы и склонности к математике.
Курс характеризуется рациональным сочетанием логической строгости и геометрической
наглядности. Увеличивается теоретическая значимость изучаемого материала, расширяются внутренние логические связи курса, повышается роль дедукции, степень
абстрактности изучаемого материала. Учащиеся овладевают приемами аналитикосинтетической деятельности при доказательстве теорем и решении задач. Систематическое изложение курса позволяет начать работу по формированию представлений
2
обучающихся о строении математической теории, обеспечивает развитие логического
мышления школьников. Изложение материала характеризуется постоянным обращением к
наглядности, использованием рисунков и чертежей на всех этапах обучения и развитием
геометрической интуиции на этой основе. Целенаправленное обращение к примерам из
практики развивает умения учащихся вычленять геометрические факты, формы, и
отношения.
Цели изучения математики:
овладение системой математических знаний и умений, необходимых для
применения в практической деятельности, изучения смежных дисциплин,
продолжения образования;
интеллектуальное развитие, формирование умений точно, грамотно,
аргументировано излагать мысли как в устной, так и в письменной форме,
овладение методами поиска, систематизации, анализа, классификации информации
из различных источников (включая учебную, справочную литературу,
современные информационные технологии);
формирование представлений об идеях и методах математики как средства
моделирования явлений и процессов;
воспитание культуры личности, отношения к математике как к части
общечеловеческой культуры, понимание значимости математики для научнотехнического прогресса.
Цель данного спецкурса: расширение и углубление базовых знаний обучающихся по
математике, подготовка к ЕГЭ, продолжению образования, повышение уровня
математической культуры обучающихся.
Изучение методов решения типовых задач можно провести в форме обзорных лекций с
разбором ключевых задач. Курс состоит из пяти тем. Изучаемый материал примыкает к
основному курсу, дополняя его историческими сведениями, сведениями важными в
общеобразовательном или прикладном отношении, материалами занимательного
характера при минимальном расширении теоретического материала. Прежде, чем
приступать к решению трудных задач, надо рассмотреть решение более простых,
входящих как составная часть в решение сложных. В процесс изучения каждой темы
включено решение заданий из ЕГЭ.
В ходе изучения материала данного курса целесообразно сосредоточиться на такой
форме организации учебной работы, как практикумы по решению задач, частичнопоисковая деятельность. Необходимо использовать элементы исследовательской
деятельности.
1. Содержание учебного курса
Планиметрия (58+ 32ч)
1. Решение треугольников
Основные понятия, связанные с треугольником. Признаки равенства треугольников.
Медиана, биссектриса и высота треугольника. Параллельные прямые. Признаки подобия
треугольников. Соотношения между сторонами и углами треугольника - вычисление
элементов треугольника. Прямоугольный треугольник, нахождение его элементов.
Рассматриваются задачи на нахождение медианы треугольника, с использованием приема
3
удвоения медианы. Также рассматриваются различные способы нахождения высот и
биссектрис треугольника.
Основная цель – систематизация и обобщение ранее полученных в разных классах
сведений о треугольнике; закрепление навыков и умений доказывать равенство и подобие
треугольников, опираясь на признаки; формирование аппарата «решения» треугольников;
обзор методов решения задач с использованием метрических соотношений в
треугольнике; развитие пространственного мышления (через решение задач на
построение).
2. Площадь треугольника. Отношение отрезков и площадей.
Доказываются полезные при решении задач теоремы Чевы и Менелая, решаются задачи с
использованием этих теорем. Формулы нахождения площади фигур. Задачи на
доказательство.
Основная цель – систематизация сведений о нахождении площадей треугольников и его
частей; закрепление навыков нахождения отношений элементов многоугольников и
отношений площадей частей многоугольников.
3. Многоугольники
Рассматриваются основные свойства и признаки четырехугольников. Метрические
соотношения в четырехугольниках. Разбираются полезные приемы работы с трапецией и
параллелограммом. Решаются планиметрические задачи повышенной сложности.
Основная цель – систематизация сведений о четырехугольниках (особое внимание
необходимо обратить на характеристические свойства каждого из видов
четырехугольников); развитие формально-логического мышления (задачи на
доказательство); закрепление навыков использования основных формул о метрических
соотношениях в четырехугольниках.
Правильные многоугольники.
4. Углы и отрезки, связанные с окружностью. Многоугольники и окружности.
Вычисление углов с вершиной внутри и вне круга, углы между хордой и касательной.
Рассматриваются теоремы о произведении хорд, о касательной и секущей, которые
полезно использовать при решении целого ряда планиметрических задач.
Рассматриваются задачи на касающиеся, пересекающиеся окружности, окружности,
связанные с треугольником и четырехугольником, на пропорциональные отрезки в
окружности. Разбирается метод вспомогательной окружности. Рассматриваются
вписанные и вневписанные окружности. Также рассматриваются задачи на вписанные и
описанные четырехугольники, в которых используются свойства и признаки вписанных и
описанных четырехугольников. Отмечаются некоторые свойства высот треугольника и
ортоцентра треугольника.
Стереометрия (10+ 36 ч)
5. Многогранники
Понятие многогранника. Призма. Пирамида. Правильные многогранники.
Основная цель –закрепить собучающимися систематические сведения об основных видах
многогранников. Познакомить с формулой Эйлера для выпуклых многогранников, с
правильными многогранниками и элементами их симметрии.
Многогранник определяется как поверхность, составленная из многоугольников и
ограничивающая некоторое геометрическое тело. Уточняется понятие геометрического
4
тела. Наряду с формулой Эйлера в разделе содержится один из вариантов
пространственной теоремы Пифагора, связанный с тетраэдром, у которого все плоские
углы при одной вершине прямые.
Практическая направленность курса реализуется значительным количеством
вычислительных задач, в ходе решения которых развиваются навыки общения с
основными геометрическими величинами: длинами, величинами углов, площадей. В
целях предупреждения возможных ошибок учащихся следует требовать от них
обоснования правильности выбора или построения различных видов углов в
пространстве, включая угол прямой с плоскостью, линейный угол двугранного угла. При
решении задач на вычисление, в том числе задач, в которых фигурируют не только
правильная призма и пирамиды, совершенствуются и развиваются умения учащихся
применять аппарат алгебры и тригонометрии к решению геометрических задач.
Учащиеся должны уметь применять изученные в теме формулы для нахождения
площадей боковых поверхностей призм и правильной пирамиды при решении
геометрических и практических задач.
6. Векторы и метод координат в пространстве.
Угол между векторами. Координаты вектора. Скалярное произведение векторов. Длина
вектора в координатах, угол между векторами в координатах. Уравнение плоскости.
Преобразования подобия.
7.Тела и поверхности вращения.
Цилиндр и конус. Усеченный конус. Основание, высота, боковая поверхность,
образующая, развертка. Осевые сечения и сечения параллельные основанию.
Шар и сфера, их сечения, касательная плоскость к сфере.
8. Объемы тел.
Понятие об объеме тела. Отношение объемов подобных тел.
Формулы объема куба, прямоугольного параллелепипеда, призмы, цилиндра. Формулы
объема пирамиды и конуса. Формулы площади поверхностей цилиндра и конуса.
Формулы объема шара и площади сферы. Объёмы шарового сегмента, шарового слоя и
шарового сектора.
9. Расстояния и углы в пространстве.
1. Требования к уровню подготовки обучающихся
В результате изучения курса обучающийся должен знать/понимать:
значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и
практике; широту и в то же время ограниченность применения математических
методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе;
значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для
формирования и развития математической науки; историю развития понятия числа,
создания математического анализа;
универсальный характер законов логики математических рассуждений, их
применимость во всех областях человеческой деятельности;
5
роль аксиоматики в математике; возможность построения математических теорий
на аксиоматической основе.
использовать приобретённые знания и умения в практической деятельности и
повседневной жизни.
После рассмотрения полного курса учащиеся должны иметь
следующие результаты обучения:
уметь определять тип задания, знать алгоритм решения;
уметь применять полученные математические знания в решении жизненных задач;
уметь использовать дополнительную математическую литературу с целью
углубления материала основного курса, расширения кругозора и формирования
мировоззрения, раскрытия прикладных аспектов математики.
В результате освоения содержания программы учащийся получает возможность
совершенствовать и расширить круг умений, навыков и способов деятельности:
1. Познавательная деятельность.
Умение самостоятельно и мотивированно организовать свою познавательную
деятельность. Создание идеальных и реальных моделей объектов, процессов.
1. Информационно-коммуникативная деятельность.
Поиск и извлечение нужной информации по заданной теме в источниках различного типа.
Умение развернуто обосновать суждение, давать определения, приводить доказательства.
1. Рефлексивная деятельность.
Владение навыками организации и участие в коллективной деятельности: постановка
общей цели и определение средств её достижения, конструктивное восприятие иных
мнений и идей, учет индивидуальности партнеров по деятельности, объективное
определение своего вклада в общий результат.
1. Перечень учебно-методического обеспечения.
1. Наборы плакатов по алгебре и геометрии
2. Набор Геометрические тела
3. Виртуальная школа Кирилла и Мефодия «Уроки геометрии"
4. Компакт диск Живая математика
5. Компакт диск Интерактивная математика
6. Презентации, тесты к урокам.
7. Портал Math.ru: библиотека, медиатека, олимпиады, задачи, научные школы,
учительская, история математики
8. Сайты:
http://www.math.ru Газета "Математика" издательского дома "Первое сентября"
http://school.msu.ru Материалы по математике в Единой коллекции цифровых
образовательных ресурсов
6
http://school_collection.edu.ru/collection/matematika/ Образовательный
математический сайт Exponenta.ru
http://www.exponenta.ru Общероссийский математический портал Math_Net.Ru
http://www.mathnet.ru Портал Allmath.ru – вся математика в одном месте
http://graphfunk.narod.ru ЕГЭ по математике: подготовка к тестированию
http://zadachi.mccme.ru Задачник для подготовки к олимпиадам по математике
http://tasks.ceemat.ru Занимательная математика школьникам (олимпиады, игры,
конкурсы по математике)
http://www.math_on_line.com Интернет-библиотека физико- математической
литературы
http://www.shevkin.ru Математическая гимнастика: задачи разных типов
http://www.bajena.com/ru/kids/mathematics/ Математические олимпиады и
олимпиадные задачи
http://www.etudes.ru Материалы для математических кружков, факультативов,
спецкурсов
http://www.mathematik.boom.ru Международный математический конкурс
"Кенгуру"
http://www.kenguru.sp.ru Московская математическая олимпиада школьников
1. Список литературы.
1. Примерная программа основного общего образования по математике 2005г.
(сборник нормативных документов. Математика / сост. Э.Д. Днепров, А.Г
Аркадьев. – 2-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2008),
2. Программы образовательных учреждений. Геометрия 10-11 классы. Составитель
Бурмистрова Т.А. М. Просвещение 2009.
3. Атанасян Л.С. Геометрия для 10-11 классов. Учебное пособие для учащихся 10-11
классов (базовый и профильный уровень).М.:Просвещение, 2007.
4. С.Г. Кальней, И.Б. Кожухов, А.С. Поспелов. Сборник задач по геометрии для
учащихся старших классов общеобразовательных школ. - М.: МИЭТ, 1997 г.
5. В.В. Прасолов. Задачи по планиметрии. Часть 1 – М. Наука, Физматлит, 1995г.
6. В.В. Прасолов. Задачи по планиметрии. Часть 2 – М. Наука, Физматлит, 1995г.
7. Б.Г. Зив. Геометрия: дидактические материалы для 10 класса, - М.: Просвещение,
2007г.
8. В. И. Рыжик. Геометрия: дидактические материалы для 10 класса с углубленным
изучением математики. М.: Просвещение, 2007г.
9. В. М. Паповский. Углубленное изучение геометрии в 10 классе.- М.: просвещение,
2002г.
10. В. А. Смирнов. Геометрия. Планиметрия. Пособие для подготовки к ЕГЭ.М.:МЦНМО, 2009г.
7
11. В. А. Смирнов. Геометрия. Стереометрия. Пособие для подготовки к ЕГЭ.М.:МЦНМО, 2009г.
12. Б.Г.Зив Геометрия Дидактические материалы, 10класс, Москва, Просвещение, 2013
8
1. Тематическое планирование
Количество часов: Всего - 68 часов; в неделю - 2 часа.
№
Кол-во
часов
Содержание урока
Примечание
Решение треугольников 18 часов
1-2
Основные понятия планиметрии.
2
3-4
Прямоугольный треугольник. Медиана
прямоугольного треугольника.
2
5-6
Теорема о медиане косоугольного треугольника.
2
7-8
Удвоение медианы.
2
9-10
Теорема о биссектрисе треугольника.
2
11-12
Задачи с нахождением биссектрис и высот
треугольника.
2
13-14
Вспомогательные подобные треугольники.
2
15-16
Некоторые свойства высот и точки их пересечения
2
17-18
Решение задач ЕГЭ
2
Площадь треугольника. Отношение отрезков и площадей. 12 часов
19-20
Отношение отрезков.
2
21-22
Теоремы Менелая и Чевы.
2
23-24
Формулы площади треугольника.
2
25-26
Задача Эйлера.
2
27-28
Отношение площадей. Решение задач.
2
29-30
Решение задач ЕГЭ
2
Многоугольники 10 часов
31-32
Параллелограмм. Свойства и признаки
параллелограмма.
2
33-34
Трапеция. Средняя линия трапеции. Свойства
равнобедренной трапеции
2
35-36
Площади четырёхугольников
2
37-38
Правильные многоугольники
2
39-40
Решение задач ЕГЭ
2
Углы и отрезки, связанные с окружностью. Многоугольники и окружности. 18
часов
41-42
Касательная к окружности.
2
9
43-44
Отрезки, связанные с окружностью.
2
45-46
Углы, связанные с окружностью.
2
47-48
Вписанная и вневписанная окружности.
2
49-50
Касающиеся окружности.
2
51-52
Пересекающиеся окружности.
2
53-54
Вписанные четырехугольники.
2
55-56
Описанные четырехугольники.
2
57-58
Решение задач ЕГЭ
2
Многогранники 10 часов
59-60
Призма
2
61-62
Пирамида
2
63-64
Построение сечений многогранников.
2
65-66
Метрические задачи на построение сечений.
2
67-68
Решение задач ЕГЭ
2
Итого
68
Тематическое планирование
Количество часов: Всего - 68 часов; в неделю - 2 часа.
№ урок
а
Количест
во часов
Содержание материала
I полугодие. Планиметрия.
32
1-2
Решение треугольников.
2
3-4
Медианы, биссектрисы и высоты треугольника.
2
5-6
Прямоугольные треугольники.
2
7-10
Многоугольники: параллелограмм, трапеция, ромб,
правильный шестиугольник.
4
11-14
Пропорциональные отрезки в треугольнике.
4
15-18
Отношение отрезков и площадей.
4
19-20
Окружность и треугольник.
2
21-22
Окружность и трапеция.
2
23-26
Векторы и метод координат.
4
27-32
Многовариантные задачи по планиметрии.
6
10
Примечан
ие
II полугодие. Стереометрия.
36
Объёмы и площади поверхностей.
14
33-34
Объём и площадь поверхности прямоугольного
параллелепипеда и призмы.
2
35-36
Объём и площадь поверхности цилиндра.
2
37-38
Объём и площадь поверхности пирамиды и конуса.
2
39-40
Объём и площадь поверхности шара и его частей.
2
41-44
Вписанные и описанные многогранники.
4
45-46
Комбинации тел вращения.
2
Решение задач «Расстояния и углы в пространстве».
22
47-48
Поэтапно-вычислительный метод.
2
49-52
Координатный и векторный методы.
6
53-54
Метод объёмов.
2
55-60
Метод ключевых задач.
6
61-66
Решение задач из ЕГЭ.
4
67-68
Резерв.
2
11
